容斥是什么意思?-容斥的意思是什么

容斥原理是一种数学方法，用于计算给定集合中元素的数量。它触及三个术语：相交、并集和补集。它的基本思想是，如果两个或更多的集合有堆叠的部份，则它们的总和小于每一个集合的单独总和。

例如，假定我们有两个集合A和B，其中A={1, 2, 3}，B={4, 5, 6}。

4.A和B的交集是{1, 2, 3, 4, 5}，A和B的并集是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，而A的补集是{4, 5, 6}，B的补集是{1, 2, 3}。因此，A和B的补集的交集就是{1, 2, 3}。

容斥原理可以利用于各种实际问题，如资源管理、工程设计、统计学等。它提供了一种有效的方法来计算出给定条件下的可能结果数量，从而帮助人们做出更好的决策。

奥数网 曲线容斥是什么意思

这是容斥原理。

在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏.为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理.

容斥原理（1）

如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类或B类元素个数= A类元素个数+

B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数.

例1

一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人

分析：依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类或B类元素个数”的总和.

试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种,已知家中有空调的有41人,有电容斥原理（2）

如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+

B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数.

例2某校六（1）班有学生54人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人,排球、游泳都参加的有14人,问：三项都参加的有多少人

分析：仿照例1的分析,你能先说一说吗

例3 在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个不能被3或5整除的数共有多少个

分析：显然,这是一个重复计数问题（当然,如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数,5的倍数）.我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素,能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数,即“既是A类又是B类的元素”.求的是“A类或B类元素个数”.现在我们还不能直接计算,必须先求出所需条件.1000÷3=333……1,能被3整除的数有333个（想一想,这是为什么）同理,可以求出其他的条件.

例4 分母是1001的最简分数一共有多少个

分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数.由于1001=7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的数.

例5

某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一项达到了优秀,达到了优秀的这部分学生情况如下表：

短跑 游泳 投掷 短跑、游泳 短跑、投掷 游泳、投掷 短跑、游泳、投掷

1 7 1 8 1 5 6 6 5 2

求这个班的学生共有多少人

分析：这个班的学生数,应包括达到优秀和没有达到优秀的.

试一试：一个班有42人,参加合唱队的有30人,参加美术组的有25人,有5人什么都没有参加,求两种都参加的有多少人

例6

在一根长的木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种将木棍分成12等份,第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段

分析：很显然,要计算木棍被锯成多少段,只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线,在此基础上加1就是段数了.

若按将木棍分成10等份的刻度线锯开,木棍有9条刻度线.在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线,显然刻度线有重复的,如5/10和6/12都是1/2.同样再加上将木棍分成15等份的刻度线,也是如此.所以,我们应该按容斥原理的方法来解决此问题.用容斥原理的那一个呢想一想,被计数的事物有那几类每一类的元素个数是多少

容斥原理容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

三集合容斥原理：

概念与两集合是类似的，只是多了第三个事物C类，去掉重复的部分不一样那么所使用的公式也不一样，三集合的基本公式如下：

v 公式一： v 公式二： 例1某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：

A. 7人 B. 8人C. 5人 D. 6人。

答案A。

解析典型的三集合标准型容斥原理问题，依据公式直接求解即可。设同时报乙、丙职位的人数为x人，那么根据公式得到方程：42—0=22+16+25-8-6-x+0，得到x=7，因此，本题选项为A。

注：将公式中的每一项在题干中找对应位置即可。

例2某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人。

使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷( )

A.310 B. 360C.390 D. 410。

答案D。