分式怎样裂项-分式如何裂项

分式的裂项是一个基本的数学技能，可以帮助我们在计算复杂的分式时更有效地进行运算。以下是如何裂项的步骤：

1、 找出所有的份子和分母中的公因数。

2、 将份子和分母分解成多个相同部份的乘积情势。

3、 将每一个部份都移动到适当的位置，使得分裂后的分式更容易进行运算。

例如，要裂项$

dfrac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - 4ab + 4b^2} $，我们可以依照以下步骤进行操作：

- 份子：$ a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2 $。

- 分母：$ a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2 $。

然后我们将份子和分母相除，得到：

$

dfrac{(a + 2b)^2}{(a - 2b)^2} =

dfrac{(a + 2b) / (a - 2b)}{(a - 2b) / (a - 2b)} =

dfrac{1}{1} = 1 $。

这样我们就成功地裂项了这个分式。

分母裂项拆分原则

分母裂项拆分原则如下：

只要是分式数列求和可采用裂项法。裂项的方法是用分母中较小因式的倒数减去较大因式的倒数，通分后与原通项公式相比较就可以得到所需要的常数。

若干个分数连加，如果每个分数的分母，都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边。

示例

例1分数裂项基本型求数列an＝1（n＋1） 的前n项和。

解：an＝1/［n（n＋1）］＝（1）- ［1/（n＋1）］（裂项）。

则 Sn＝1-（1/2）＋（1/2）-（1/3）＋（1/3）-（1/4）＋（1）-［1/（n＋1）］（裂项求和）。

＝ 1-1/（n＋1）。

＝ n/（n＋1）。

例2整数裂项基本型求数列an＝n（n＋1） 的前n项和。

解：an＝n（n＋1）＝［n（n＋1）（n＋2）-（n-1）n（n＋1）］/3（裂项）。

则 Sn＝［1×2×3-0×1×2＋2×3×4-1×2×3＋n（n＋1）（n＋2）-（n-1）n（n＋1）］/3（裂项求和）。

＝ ［n（n＋1）（n＋2）］/3。

例31/（1×4）＋1/（4×7）＋1/（7×10）＋1/（91×94）使用裂项公式将每个分式展开成两个分数。

原式＝1/3 ＊［（1-1/4）＋（1/4-1/7）＋（1/7-1/10）＋（1/91-1/94）］＝1/3＊（1-1/94）＝31/94。