容斥公式原理-容斥公式是什么

容斥原理是一种用于计算一定范围内的最大数量的数学工具。它基于一种思想，即如果一个集合中有n个元素，其中一部份被添加到另外一个集合中，那末这两个集合中的元素总数就比原始集合多n个。因此，可使用容斥原理来找出两个或更多个集合中所有可能的组合的总和。

容斥公式的数学情势是：

A ∪ B = A + B - (A ∩ B)

在这个公式中，A和B代表要计算的两个集合，A ∪ B表示它们的并集，A + B表示它们的总和，而A ∩ B表示它们的交集。通过减去交集，我们可以得到在并集中没有出现在交集中的元素的数量，这就是容斥原理的核心。

例如，如果我们想知道三个集合A、B和C中所有的元素的总数，我们可使用容斥原理：

A ∪ B ∪ C = A + B + C - (A ∩ B) - (A ∩ C) - (B ∩ C) + (A ∩ B ∩ C)

这个公式告知我们，三个集合的元素总数等于它们的总和减去在每一个集合中都出现但只在一个集合中出现的元素的数量。

容斥原理有哪三个公式？

粉笔三者容斥问题3个公式如下：

1、标准型： |A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | - | A∩B | - | B∩C | - | C∩A | + | A∩B∩C |。

2、非标准型：|A∪B∪C | = | A | + | B | + | C | -只满足两个条件的- 2×三个都满足的。

3、列方程组：|A∪B∪C | =只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。容斥原理的定义：

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。

例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。

以上内容参考：百度百科-容斥原理

容斥问题具体如下：

一、两容斥公式

总数＝（A＋B－A∩B）＋一个都不满足

＝（只满足A＋满足B）＋一个都不满足

＝（满足A＋只满足B）＋一个都不满足

例：某班共35人，其中喜欢数学的20人，喜欢语文的23人，数学语文都喜欢的多少人

（20＋23）－35＝8（人）

二、两容斥的极值问题

例：某班共35人，其中喜欢数学的20人，喜欢语文的23人，数学语文都喜欢的至多有多少人至少有多少人

至多有20人

至少有8人

三、三容斥之包含的容斥原理

总人数＝（A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C）＋都不满足

四、三容斥之不包含的容斥原理

总数＝（A＋B＋C－只满足两个条件的－2×只满足三个条件的）＋都不满足的

＝（A＋B＋C－至少满足两个条件的－满足三个条件的）＋都不满足的

五、综合题型

总人数＝只一项＋（只两项＋三项）→至少两项

总人数＝满足一项＋满足两项＋满足三项＋都不满足

六、复杂问题简单化

例:对某大学所在系100名学生进行调查，结果发现他们喜欢NBA和足球、赛车。其中58人喜欢看NBA，38人喜欢看赛车，52人喜欢看足球，既喜欢看NBA又喜欢看赛车的有18人，既喜欢看足球又喜欢看赛车的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看足球的有多少人

A.22-B.28-C.30-D.36

思路:“只喜欢足球”等价于“既不NBA也不赛车”

总数＝（A＋B－A∩B）＋都不满足

A为喜欢NBA，B为喜欢赛车

设都不满足为x

100＝（58＋38－18）＋x

x＝22人

七、及格率极值分析

例:某中学初二年级共有620名学生参加期中考试，其中，语文及格的有580名数学及，及格的有575名英语及格的有604名以上，三门功课都及格的，至少有多少名同学。

A.575-B.558-C.532-D.519

总项数＝满足1项×1＋满足两项×2＋满足三项×3

总项数＝580＋575＋604＝1759

要让满足3项的尽可能少，只需要让满足1项和满足2项尽可能多，则所有人都满足2项就是最多的时候

1759－620×2＝519（名）

例:某单位有72名职工，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班，已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是多少人

A.6-B.12-C.16-D.20

要让满足3项的尽可能多，只需要让满足1项和满足2项的尽可能少

84－72×1＝12项

12项÷2＝6（人）