容斥问题讲解方法-容斥问题如何讲解

容斥问题是组合数学的一个重要分支，主要研究在给定条件下的元素总和。容斥问题的基本思想是：在一个集合中，对某些条件（或事件），有些元素被计算过一次，有些元素被计算过两次，有些元素没有被计算过。通过容斥原理，可以将一些复杂的计算简化为简单的加法运算。

容斥问题的一般情势为：A、B和C是三个互不相交的集合，且A包括集合B，B包括集合C，则集合A与集合C的并集等于集合A与集合B的并集与集合B与集合C的差集之和。

容斥问题的具体利用非常广泛，例如在计算机科学中，它可以用于计算元素的数量，如在网络流量分析中计算访问特定网站的用户数量；在商业领域，它可以用于统计商品销售额，如在零售业中统计不同种别的商品销售额；在地理学中，它可以用于计算人口数量，如在城市计划中统计不同年龄段的人口数量等。

容斥问题是一种重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种复杂的问题，使我们的生活更加便利。

容斥原理标准和非标准区别

容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。这次，陕西华图教育就带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。

首先，大家应该有一个明确的认识，在行测考试中的容斥原理按集合多少可分为两集合容斥原理和三集合容斥原理，今天，我们着重的讲解对象，就是三集合容斥原理。

其次，三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。

集合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，满足标准型公式：

三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ＋Ⅲ－Ⅰ·Ⅱ－Ⅰ·Ⅲ－Ⅱ·Ⅲ＋Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ＝总个数- 三者都不满足个数

通过观察公式，我们可以看到在公式中，出现了9个量，而这个式子的适用前提就是知8求1，即在题目中，若我们看到了8个已知量，要求1个未知量的时候，就要使用这个公式（注：而题目中有时候也是知7求1，其中的三者都不满足的个数可能为零），具体题目如下：

（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（ ）人。

A.20B.18C.17D.15

E.14F.13G.12H.10

解：通过观察，我们发现了八个已知量，还要我们求另一个未知量，故可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。

接着，我们来看一下三集合变异型的公式，如下图示：

从上式中，我们可以看出，要使用变异型公式，题目中必须要出现仅满足2个情况的个数，这就是与标准型公式最大的不同，下面我们就看看具体的题目：

（广东2015）某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为（ ）。

A.75 B.82

C.88 D.95

解：由于题目中出现“只参加其中两个项目的有13人”，故使用变异型公式，得到下面列式：49＋36＋28－1×13－2×9＝x，通过尾数法（若题目中选项的尾数都不一样的话，就可以用尾数法快速得到答案），判断出答案为82，选B。

容斥极值公式是什么

1.因为甲答错的题占总数的1╱4，两人都错的占总数的1╱6，所以总题目数量应该是4和6的公倍数，（即12的倍数：12，24，36……）。

因为乙错3题，所以两人都错的题目不会超过3道（占总数的1╱6），所以总题目不会超过3/(1╱6)=18道，从而得出总题目为12道。

进一步计算，甲，乙也做对做对9题，做错3题，共同做错2题，所以都做对的有8题。

2.总数 - 什么都不会的（不及格的） = 至少会一个的：25-6=19

会的 - 会骑的= 会游的或会滑的：19-17=2

会游的或会滑冰的 - 会游泳的=只滑冰的：2-13<0

所以，有2个人会游泳会滑冰

同理：

会的 - 会游的= 会骑的或会滑的：19-13=6<8<17

会的 - 会滑的=会骑的或会游的：19-8=11<13<17

说明及格的人都会2个运动

优秀的条件是什么？不可能都会就是至少会两个的？

如果会3个的是优秀的话，题目条件已经说没有人会3个，优秀为0

如果会两个是优秀的话，则有2+6+11=19个。

3. 28-17-8=3人

4.

甲乙共同读过的，最少有75+60-100=35本乙丙共同读过的，最少有60+52-100=12本甲丙共同读过的，最少有75+52-100=27本那么甲乙丙共同读过的，最少就是12本

容斥原理最值公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B- B∩C-A∩C+A∩B∩C。

1、区域出现重叠。

2、出现“最多”、“最少”、“至多”、“至少”等字眼。

二者容斥最小值：A∩B的最小值＝A+B-I。

三者容斥最小值：A∩B∩C的最小值＝A+B+C-2I。

常见应用

例1某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人？

A.165 B.203 C.267 D.199

答案C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是涉及到求至少的问题，所以要求的是极值问题。而解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。