扩散现象如何表达出来-扩散现象如何表达

分散现象是指物资份子从高浓度区域向低浓度区域运动的进程。它可以由物理、化学或生物进程引发，其表现情势包括气体分散、液体分散和固体分散等。

在物理中，分散现象可以用热力学第二定律的熵增原理来解释。当两个物资的混合物到达平衡时，它们将遵守这个原理，即能量将从高温区域流向低温区域，直到系统中的总熵到达最大值。

在化学中，分散现象是一个反应速率的问题。当反应物份子在浓度梯度的作用下从高浓度区向低浓度区分散，与生成物份子碰撞并构成新的化合物。这类反应称为分散反应，反应速率随着浓度梯度的增大而增加。

在生物学中，分散现象可以用于描写物资在细胞内的移动。例如，氧气和葡萄糖可以通过细胞膜上的离子通道分散进入细胞内，以供细胞进行新陈代谢。

分散现象是自然界的一种基本进程，它广泛存在于各种科学领域，并对我们的生活产生深远影响。

瞬时源一维扩散问题的解析解

瞬时突发性地向细长形扩散介质中注入扩散物质，并即刻开始扩散，即为一维瞬时源扩散，又称为一维脉冲衰减。若在一端注入则发生单向扩散，若在中部注入则发生对称的双向扩散。因扩散中注入的物质在整个扩散介质中数量不变，相同扩散时间、相同扩散距离的浓度，单向扩散是双向扩散的2倍。

双向扩散时扩散组分在扩散介质中一次性注入，细长形一维扩散介质空间坐标以z记，截面积为A，注入点位置记为z=0，仅在注入点处于时间t=0时注入质量为M的扩散组分，并即刻向两端扩散，两端无限长位置处组分浓度始终为零。

求解具体的扩散问题，还要用到初始条件、无限远边界条件和初始边界条件，这些条件能够严格界定具体扩散问题的本质特征。瞬时源双向扩散问题的求解条件如下：

1）初始条件：c（z，0）=0（z≠0，t=0）；

2）无限远边界条件：c（±∞，t）=0（t＞0）；

3）初始边界条件：注入点上的初始边界条件较为复杂。需用Dirac单位脉冲函数（δ函数）辅助描述。

水文地球化学基础

定义一维扩散源的强度。注入点上的浓度表示为：c（z，0）=Wδ（z），这表示既符合瞬时性，又满足质量平衡。

初始边界条件为c（z，0）=Wδ（z）。

从初始边界条件的量纲看，δ（z）量纲为[L—1]；Wδ（z）为浓度单位，量纲[M·L—3]，一维扩散的瞬时源强度W的量纲为[M·L—2]，W不是浓度，但Wδ（z）是浓度。因为一维扩散组分的量M是分散在扩散面积A上的，源的强弱要用单位面积上的量来衡量，扩散的源是二维的源，一维扩散源强度W是二维的源强度的度量。

傅里叶变换法解瞬时源一维扩散方程的步骤如下：

第一步，对方程作关于z的傅里叶变换，利用条件2），无限远边界条件c（±∞，t）=0，得到像空间的扩散方程。

经过变换，c（z，t）变换为像空间的像CF（ω，t），自变量参数z变换为傅里叶参变量ω，原偏微分方程变为像空间中的1阶常微分方程。为解这个常微分方程，用到的初始边界条件3）要经傅里叶变换，变换结果为CF（ω，0）=W。

第二步，在像空间中的解为CF（ω，t）=Wexp（—Dω2t）。

第三步，作傅里叶逆变换，将像中的解变换为原空间的解，结果是我们需要的解：

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式（8—4）描述了静止或平流（或称为推流、活塞流、层流、对流）扩散介质中扩散组分在作布朗运动时的分布规律。当时间t为确定值时，浓度随着空间变量z的变化规律服从正态高斯分布，如图8—5b所示，标准偏差为。布朗运动的无规则运动一维模型中，t时间内运动n步，平均步长为，平均扩散距离为的结果为；爱因斯坦对布朗运动进行统计热力学研究，得到平均扩散距离方程（8—5）。

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用于已知D时计算扩散进行时间t的扩散组分平均扩散距离。由式（8—5）知，平均扩散距离定义为扩散时间t时扩散组分浓度在一维空间正态分布的标准偏差。平均移动速率为。扩散通量为。

将与式（8—5）结合，得，又因热振动频率v=n/2t得到方程式（8—6）：

水文地球化学基础

方程（8—6）是实验室研究分子扩散现象的重要依据。通过测定热振动频率v、间接测量并计算得到平均步长，依据式（8—6）可计算分子扩散系数D的值。

瞬时源单向扩散的空间坐标z取正值，浓度值是相应的双向扩散浓度的2倍。因此由式（8—4）得瞬时源一维单向扩散方程的解析解如下：

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瞬时源单向扩散问题另一种边界条件的表达为：

1）初始条件：c（z，0）=0（z≠0，t=0）；

2）无限远边界条件：c（∞，t）=0（z=∞，t≥0）；

3）初始边界条件：c（0，t）=cδδ（t）（z=0，t≥0）。

δ函数定义为：

cδ的量纲为[ML—3T]，δ（t）的量纲为[T—1]。用拉普拉斯变换法，这种边界条件的瞬时源单向扩散微分方程可得到式（8—7b）：

水文地球化学基础

代入t时的平均扩散距离的表达式，式（8—7b）可改写为式（8—7c）：

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比较式（8—7a）和式（8—7b）得：

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式（8—8）说明，W、cδ二者之间没有简单的关系，一个量为常量时，则另一个量为随z和t变化的量，W、cδ用于不同的初始边界条件的表述中，有c（0，t）=cδδ（t），c（z，0）=Wδ（z）。

利用式（8—4）和式（8—7a～c）计算细长水柱中岩石瞬间断裂时有限活性组分在水柱中分别在双向和单向的瞬时源扩散过程。

例题8—2两个试验用比色管或玻璃瓶，内径d为1cm，高约5cm，两瓶的瓶口连接在细缝加药池上，横平放置。自加药池向两瓶内注满纯水。设水温度25℃，以固体薄片方式向加药池内投加1mg的苏丹红示踪剂，随后可以观察到两瓶内苏丹红的扩散现象。

为有预期的观察并理解扩散过程，试以单向扩散和双向扩散的浓度方程计算距加药池0.02m处浓度随时间变化的历时曲线和时间为10min时浓度在长管各断面位置上的分布曲线。苏丹红在水中的扩散系数D=1.0×10—4m2/d。

解：式（8—4）给出了双向扩散浓度方程。由于方程中空间坐标z为平方项，以加药池为z坐标原点，扩散过程中的任一时刻浓度在空间维度z上呈对称分布，c（—z，t）=c（z，t）。

同时根据物质守恒原理，任一时间下管内物质总量不变，扩散过程的浓度分布曲线呈现出扩散时间越长，扩散涉及的空间范围越大，而各断面处的浓度值也越趋向于均匀化。

同样，按物质守恒原理和扩散过程浓度方程式（8—7 a～c）可知，当z和t相同，且源强度也相同时，单向扩散的浓度是双向扩散浓度的两倍。

计算结果如图8—3～图8—5所示。